\( \sin^2(x) \cos^2(x) \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \]

使用三角恒等式 \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) 和 \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \) 来改写积分：

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))(1 + \cos(2x)) \, dx \]

使用平方差公式展开右侧积分的被积函数：

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos^2(2x)) \, dx \]

使用三角恒等式 \( \cos^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \)，当 \( \theta = 2x \) 时得到 \( \cos^2(2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \)：

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( 1 - \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \right) dx \]

化简括号内的被积函数：

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(4x) \right) dx = \dfrac{1}{8} \int (1 - \cos(4x)) \, dx \]

使用标准积分 \( \int 1 \, dx = x \) 和 \( \int \cos(kx) \, dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) \) 来计算积分：

\[ = \dfrac{1}{8} \left( x - \dfrac{1}{4} \sin(4x) \right) + c \]

其中 \( c \) 为积分常数。

最终结果为：